1 ιανύσµατα Ο ϕυσικός χώρος µέσα στον οποίο Ϲούµε και κινούµαστε είναι ένας τρισδιάστατος ευκλείδειος γραµµικός χώ- ϱος. Ισχύουν λοιπόν τα αξιώµατα της Γεωµετρίας του Ευκλείδη, το πυθαγόρειο ϑεώρηµα και χρειάζονται τρεις πραγµατικοί αριθµοί «συντεταγµένες» για να προσδιορίσουµε τη ϑέση µας στον κόσµο. Οι τρεις αυτές συντεταγµένες ως προς κάποιο σύστηµα αξόνων ορίζουν το διάνυσµα ϑέσης. Η στιγµιαία µεταβολή στη ϑέση ενός σώµατος δίνεται από ένα άλλο διάνυσµα, την ταχύτητα. Οµοίως η δύναµη, η επιτάχυνση, το ηλεκτροµαγνητικο πεδίο είναι διανύσµατα γενικά τρισδιάστατα. Ξεκινάµε λοιπόν µε µια εισαγωγή στα διανύσµατα. 1.1 Αλγεβρικές πράξεις µεταξύ διανυσµάτων z Μοναδιαία διανύσµατα ˆ, ŷ, ẑ επάνω στους τρεις άξονες (,, z) αντίστοιχα. Α- ναλύουµε το διάνυσµα σε τρεις συνιστώσες, προβάλλοντας κάθετα το διάνυσµα επάνω στους τρεις άξονες,, z: = ˆ + ŷ + z ẑ c = c ˆ + c ŷ + c z ẑ ± B = ( ± B ) ˆ + ( ± B ) ŷ + ( z ± B z ) ẑ c ( ± B) = c ± cb + B + C = + (B + C) = ( + B) + C Μέτρο του διανύσµατος από το πυθαγόρειο ϑεώρηµα : = 2 + 2 + 2 z z z 1.2 Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων B = B cos θ = B προβολή του στο B B = B (B ± Γ) = B ± Γ θ B Απόδειξη. (B + Γ) = (προβολήb + προβολήγ) = (ΟΒ 1 + Β 1 Γ 1 ) = B + Γ ΟΒ 1 = B cos θ B Β 1 Γ 1 = Γ cos θ Γ B θ Γ Γ θ B B 1 Γ 1
2 ιανύσµατα ˆ =  = = ˆ + ŷ + ẑ z  = 1 ιευθύνοντα Συνηµίτονα,, z 1.2.1 Εφαρµογές του εσωτερικού γινοµένου 1. Ρυθµός παραγωγής έργου όπου F είναι η δύναµη και v η ταχύτητα. dw = F v 2. Εξίσωση επιπέδου κάθετου στο διάνυσµα N N O r N r = N (προβολή του r στο N) = N N = N 2 N = ˆN + ŷn + ẑn z r = ˆ + ŷ + zẑ N r = N + N + zn z = N 2 N N 2 + N N 2 + z N z N 2 = 1 a + b + cz = 1 1.2.2 Ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου Εάν B τότε θ = 0 και άρα B = B. Εάν θ = π, τότε B = B αντιπαράλληλα διανύσµατα. Για το µέτρο του έχουµε = 2 = 2 + 2 + 2 z Γενικά είναι B = ( ˆ + ŷ + z ẑ) (B ˆ + B ŷ + B z ẑ) = B ˆ ˆ + B ˆ ŷ +... = B 1 + B 0 +... = B + B + z B z διότι ˆ ŷ = 1 1 cos π 2 = 0 ˆ ẑ = 0 ŷ ẑ = 0 ˆ ˆ = 1 1 cos 0 = 1, ŷ ŷ = 1, ẑ ẑ = 1 1.3 Εξωτερικό Γινόµενο δύο διανυσµάτων Γ = B = ˆΓ B = ˆΓ B sin φ Η γωνία φ έχει ϕορά από το στο B. Τα διανύσµατα Γ, ˆΓ είναι κάθετα στο επίπεδο (, B). Ιδιότητες B = B Αλλάζει η ϕορά της γωνίας φ φ φ sin φ sin φ
1.3 Εξωτερικό Γινόµενο δύο διανυσµάτων 3 Γ= Α B φ B Σχήµα 1.1 Ιδιότητες µοναδιαίων διανυσµάτων ˆ ˆ = 1 1 sin 0 = 0 ˆ ŷ = 1 1 sin π 2 = 1 ˆ ẑ = 1 ŷ ẑ = 1 ˆ ŷ = ẑ ŷ ẑ = ˆ ẑ ˆ = ŷ όπου οι τελευταίες τρεις σχέσεις ισχύουν εφόσον χρησιµοποιούµε δεξιόστροφο σύστηµα συντεταγµένων. Εάν B B = 0. Εκφραση µέσω συνιστωσών : B = ( ˆ + ŷ + z ẑ) (B ˆ + B ŷ + B z ẑ) = B ˆ ˆ + B ˆ ŷ + B z ˆ ẑ +... = B 0 + B ẑ + B z ( ŷ) +... =... = ˆ ( B z z B ) + ŷ ( z B B z ) + ẑ ( B B ) ˆ ŷ ẑ = z B B B z B φ B Σχήµα 1.2 Το εξωτερικό γινόµενο δίνει το εµβαδόν του παραλληλογράµµου Α, Β (ϐλ. σχήµα 1.2). Μικτό γινόµενο (B C) = ( B) C = όγκος παραλληλεπιπέδου, B, C ˆ (ŷ ẑ) = 1, z (B C) = B B B z C C C z
4 ιανύσµατα B C θ προβολή του στο B C θ θ O 4 φ O C 5 O O 3 1 B O 2 Σχήµα 1.3 1.4 Χρήσιµες ταυτότητες ( B) C = ( C) B (B C) (B C) = ( C) B ( B) C ( B) (C D) = ( (B D)) C ( (B C)) D (B C) = (C B) Εφαρµογή : Ροπή δύναµης Εχουµε N = r F N = df N = ˆN r F sin θ O d N θ r F θ d = r sin θ Εφαρµογή : Μαγνητική δύναµη σε κινούµενο ϕορτίο F = qv B δύναµη κάθετη στο επίπεδο (v, B) 1.5 Μετασχηµατισµός ως προς στροφές z ω Σχήµα 1.4 (α) Στροφή διανύσµατος γύρω από τον άξονα z κατά γωνία ω:. Το µέτρο του είναι αναλλοίωτο. 2 = 2 2 + 2 + 2 z = 2 + 2 + 2 z (ϐ) Στροφή συστήµατος συντεταγµένων ( ˆ, ŷ, ẑ) (ˆ, ŷ, ẑ )
1.6 Εφαρµογές - Προβλήµατα 5 Προβάλουµε το διάνσυµα στους άξονες: z z = ˆ + ŷ + z ẑ = ˆ + ŷ + zẑ Προβάλουµε τα µοναδιαία διανύσµατα (ˆ, ŷ, ẑ ) στους (ˆ, ŷ, ẑ): ˆ = a 1 ˆ + a 2 ŷ + a 3 ẑ ŷ = b 1 ˆ + b 2 ŷ + b 3 ẑ ẑ = c 1 ˆ + c 2 ŷ + c 3 ẑ αντικαθιστούµε και ϐρίσκουµε τα,, z. 1.6 Εφαρµογές - Προβλήµατα Πρόβληµα = 3ˆ + ŷ + 2ẑ (α) Μέτρο του διανύσµατος 2 = 9 + 1 + 4 = 14 = 14 2 = (ϐ) Προβολή του στο επίπεδο (, ) πρ = 3ˆ + ŷ, πρ 2 = 9 + 1 = 10 (γ) ιάνυσµα B κάθετο στο επί του επιπέδου (, ) B = B ˆ + B ŷ και B = 0 3B + B = 0 3B = B B = (ˆ 3ŷ) k όπου k τυχαίος πραγµατικός αριθµός. Μοναδιαίο διάνυσµα στη διεύθυνση του B ˆB = B k ˆ 3kŷ = B k2 + 9k = 1 ˆ 3 ŷ 2 10 10 (δ) Περιστροφή του Συστήµατος Συντεταγµένων κατά γωνία φ = π/2 γύρω από τον άξονα ẑ z z φ=π/2 Σχήµα 1.5
6 ιανύσµατα ˆ = ŷ, ŷ = ˆ, ẑ = ẑ = 3ˆ + ŷ + 2ẑ = 3ŷ + ˆ + 2ẑ = ˆ 3ŷ + 2ẑ B = ˆ 3ŷ B = ŷ 3ˆ = 3ˆ ŷ B = 3 3 = 0 στο σύστηµα συντεταγµένων (,, z) Επίσης B = 3 + 3 = 0 στο σύστηµα συντεταγµένων (,, z ) Το εσωτερικό γινόµενο αναλλοίωτο ως προς την αλλαγή του συστήµατος συντεταγµένων. Πρόβληµα ίνονται τα δύο διανύσµατα = 2ˆ ŷ + 4ẑ και B = 5ˆ + 2ŷ 2ẑ. (α) B (ϐ) Να ϐρείτε το διάνυσµα Γ που είναι κάθετο στο και το B. Λύση: (α) B = 10 2 8 = 0 (ϐ) Γ = B = 6ˆ + 24ŷ + 9ẑ ˆ ŷ ẑ Γ = 2 1 4 5 2 2 Γ = 1 4 2 2 = 2 8 = 6 Γ = 2 4 5 2 = ( 4 20) = 24 Γ z = 2 1 5 2 = 4 + 5 = 9 Γ = 0, Γ B = 0 Πρόβληµα ίνεται κύβος µε ακµή µήκους a. Να ϐρεθούν : z Λ (α) η γωνία µεταξύ µιας ακµής και µιας µικρής διαγωνίου (ϐ) η γωνία µεταξύ δύο µικρών διαγωνίων (γ) η γωνία µεταξύ µιας µικρής και µιας µεγάλης διαγωνίου Λύση: Γ B φ θ ω E Δ K Εχουµε ΑΓ = a 2, Α = a 2 (ΑΕ) 2 = (Α ) 2 + ( Ε) 2 = 2a 2 + a 2 = 3a 2 ΑΕ = a 3
1.6 Εφαρµογές - Προβλήµατα 7 (α) ΑΒ = aˆ, ΑΓ = aˆ + aẑ ΑΒ ΑΓ = ΑΒ ΑΓ cos φ ΑΒ ΑΓ cos φ = ΑΒ ΑΓ = a2 a 2 2 = 1 2 = 2 2 φ = π 4 (ϐ) cos θ = Α = aˆ + aŷ ΑΓ Α ΑΓ Α = a 2 a 2a 2 = a2 2a 2 = 1 2 (γ) Πρόβληµα cos ω = θ = π 2 ΑΕ Α ΑΕ Α ΑΕ = Α + Ε = aˆ + aŷ + aẑ cos ω = a2 + a 2 a 3a 2 = 2a2 a 2 6 = 2 = 6 Η ϱοπή N µιας δύναµης F ως προς ένα δεδοµένο σηµείο Ρ ορίζεται από το εξωτερικό γινόµενο N = r F, όπου r το διάνυσµα από το δεδοµένο σηµείο Ρ έως το σηµείο που εφαρµόζεται η δύναµη. ίνονται : z r F 2 3 O r B B Σχήµα 1.6 F = 3ˆ + ŷ + 5ẑ r = 7ˆ + 3ŷ + ẑ r B = 10ŷ (α) Ροπή της δύναµης F ως προς το Ο ˆ ŷ ẑ N O = r F = 7 3 1 = 14ˆ 38ŷ + 16ẑ 3 1 5 (ϐ) Ροπή της δύναµης F ως προς το Β N B = r B F r = r B + r B r B = r r B = 7ˆ 7ŷ + ẑ ˆ ŷ ẑ N B = 7 7 1 = 36ˆ 38ŷ 14ẑ 3 1 5
8 ιανύσµατα 1.7 Παραγώγιση διανύσµατος (ταχύτητα) Ορισµός : = (t) = (t)ˆ + (t)ŷ + z (t)ẑ d = lim (t) (t + t) (t) = lim t 0 t t 0 t (t) = (t)ˆ + (t)ŷ + z (t)ẑ z (t) d Δ(t) (t+δt) Σχήµα 1.7 Εάν το διάνυσµα ϑέσης r, τότε η ταχύτητα του σώµατος εύτερη παράγωγος dr = v(t) v(t) = dr = dr ˆ + dr ŷ + dr z ẑ dv(t) = a(t) }{{} d 2 r 2 [επιτάχυνση] [Παραγωγίζουµε κάθε συνιστώσα χωριστά, τα µοναδιαία διανύσµατα ˆ, ŷ, ẑ υποθέτουµε ότι δεν εξαρτώνται από την παράµετρο t]. 1.7.1 Παραγώγιση αλγεβρικών παραστάσεων µε διανύσµατα Η παραγώγιση αλγεβρικών παραστάσεων µε διανύσµατα γίνεται όπως ακριβώς όταν δεν έχουµε διανύσµατα. ( + B) = ( + B ) (f) = f + f ( B) = B + B ( B) = B + B Η απόδειξη των σχέσεων γίνεται εύκολα, αφού αναλύσουµε σε συνιστώσες τα εµπλεκόµενα διανύσµατα. 1.7.2 Σχετική ταχύτητα, Σύνθεση ταχυτήτων Εστω r(t) το διάνυσµα ϑέσης ενός σώµατος για το σύστηµα Ο τη χρονική στιγµή t (ϐλ σχήµα 1.8) και r (t) το διάνυσµα ϑέσης του ιδίου σώµατος για το σύστηµα Ο. Ισχύει διανυσµατικά η σχέση : r (t) = Ο Ο + r(t) Παραγωγίζοντας και τα δύο µέλη ως προς τον χρόνο t έχουµε : dr (t) = dr(t) + d Ο Ο(t)
1.8 Εφαρµογές - Προβλήµατα 9 r r O O Σχήµα 1.8 v = v + u όπου u η ταχύτητα του Ο ως προς το Ο (σχετική ταχύτητα) και v η ταχύτητα του σώµατος ως προς το τονούµενο, Ο, σύστηµα αναφοράς. 1.8 Εφαρµογές - Προβλήµατα Πρόβληµα Εστω r(t) = 3 cos(ωt)ˆ + 3 sin(ωt)ŷ. Βρείτε την ταχύτητα v και την επιτάχυνση a. v = dr = 3ω sin(ωt)ˆ + 3ω cos(ωt)ŷ r v = ( 9ω 2 + 9ω 2) sin(ωt) cos(ωt) = 0, a = dv = 3ω2 cos(ωt)ˆ 3ω 2 sin(ωt)ŷ a = ω 2 r r v 2 + 2 = 9 cos 2 (ωt) + 9 sin 2 (ωt) = 9 Η κίνηση γίνεται σε κύκλο ακτίνας R = 3, µε κέντρο την αρχή των αξόνων. Η ταχύτητα είναι εφαπτόµενη της καµπύλης, τροχιάς, της κίνησης. r υ a ω O Σχήµα 1.9 Πρόβληµα Κίνηση ϱουκέτας στον κενό χώρο σε µία διάσταση, εκτός πεδίου ϐαρύτητας, µε ταχύτητα v(t) = u ln(1 bt), όπου u η ταχύτητα του καυσαερίου ως προς την ϱουκέτα και b ο ϱυθµός κατανάλωσης καυσίµων, (1 bt) > 0. (α) Να ϐρεθεί η επιτάχυνση (ϐ) Να ϐρεθεί η ϑέση (t), εάν (0) = 0 (γ) Εάν b = 7, 5 10 3 sec 1 και εξαντλεί τα καύσιµα σε χρόνο t 0 = 120 sec, πόση ταχύτητα έχει αποκτήσει ;
10 ιανύσµατα Λύση: (α) (ϐ) 0 d = a = dv = ub 1 bt d = v d = v(t) t 0 v(t ) = u t 0 ln(1 bt ) z = 1 bt dz = b, 1 bt > 0 = u 1 bt ln zdz = u ( ) z ln z 1 bt u b b 1 b (1 bt) + u b 1 = ut + u (1 bt) ln(1 bt) b ln z = (z ln z) 1 (γ) Πρόβληµα v(t 0 ) = u ln ( 1 7, 5 10 3 1, 2 10 2) = u ln(0, 1) v(t 0 ) = 2, 3u Ενα σωµατίδιο κινείται στο επίπεδο (, ) µε ταχύτητα v = aˆ + bŷ, όπου a, b σταθερές. Να ϐρείτε (α) το διάνυσµα ϑέσης του σωµατιδίου (ϐ) την εξίσωση της τροχιάς () (γ) την επιτάχυνση a. Λύση: (α) Εχουµε v = aˆ + bŷ και r = ˆ + ŷ όπου dr = dˆ + dŷ v = dr dr = v d = v d και = v d = v = a και d = v = b (t) (0) = at, (t) (0) = bt, 0 d = r = atˆ + btŷ t 0 a έστω (0) = 0 = at έστω (0) = 0 = bt (ϐ) (γ) = bt at = b a = b a a = dv = 0
1.8 Εφαρµογές - Προβλήµατα 11 Πρόβληµα ύο σωµατίδια Α, Β, κινούνται επάνω στους άξονες και αντίστοιχα, µε ταχύτητες v = 2ˆ m/sec και v B = 3ŷ m/sec. Τη χρονική στιγµή t = 0 τα δύο σωµατίδια ϐρίσκονται στις ϑέσεις ( 3, 0) m και (0, 3) m, αντίστοιχα. (α) Υπολογίστε το διάνυσµα ϑέσης του σωµατιδίου Β ως προς το Α σαν συνάρτηση του χρόνου. (ϐ) Σε ποια χρονική στιγµή η απόσταση µεταξύ των δύο σωµατιδίων είναι η ελάχιστη δυνατή ; Ποια είναι η ϑέση τους τότε ; Λύση: υ r r B B O r B υ B Σχήµα 1.10 (α) r + r B = r B r B = r B r r = r (0) + v t = ( 0 + v t) ˆ r B = r B (0) + v B t = ( B0 + v B t) ŷ 0 = 3 m, v = 2 m/sec, B0 = 3 m, v B = 3 m/sec r B (t) = ( 0 ˆ + B0 ŷ) + ( v tˆ + v B tŷ) (ϐ) Απόσταση µεταξύ τους = r B (t) r B 2 = ( 0 + v t) 2 + ( B0 + v B t) 2 = 2 Για το ακρότατο έχουµε Ακρότατα d 2 d 2 = 0 µε 0 = 2v ( 0 + v t) + 2v B ( B0 + v B t) = 0 df t=t0 = 0 { f (t 0 ) > 0, f (t 0 ) < 0, ελάχιστο µέγιστο Πρόβληµα (Σύνθεση ταχυτήτων) Ο πιλότος ενός αεροπλάνου πρέπει να διανύσει µια απόσταση 200 km προς τα ανατολικά. Από ϐορειοδυτικά ϕυσάει άνεµος µε ταχύτητα 30 km/h. Υπολογίστε το διάνυσµα της ταχύτητας του αεροπλάνου ως προς τον άνεµο αν, σύµφωνα µε το δροµολόγιο, το αεροπλάνο πρέπει να ϕτάσει στον προορισµό του σε 40 λεπτά. Λύση: Συµβολίζουµε µε V a,e την ταχύτητα του αεροπλάνου ως προς το έδαφος, µε V,E την ταχύτητα του ανέµου ως προς έδαφος και µε V a, την ταχύτητα του αεροπλάνου ως προς τον άνεµο. Εχουµε
12 ιανύσµατα Βορράς V a,e = V,E + V a, V a,e = 200 km (2/3) h = 300 km/h και V a,e = V a,e ˆ V,E = 30 km/h V,E = V E, ˆ + V E, ŷ V E, = V,E cos π 4 = 2 2 V E, = V,E sin π = 21 km/h 4 30 kmh/h 21 km/h Δύση V a, E π/4 V, E V a, Ανατολή V a, = V a,e V,E = 300 km/hˆ 21 km/hˆ + 21 km/hŷ V a, = 279 km/hˆ + 21 km/hŷ 1.9 Πολικές συντεταγµένες Κινούµαστε στο επίπεδο (, ) r = ˆ + ŷ r = r cos φˆ + r sin φŷ r = r ˆr ˆr = cos φˆ + sin φŷ (, ) (r, φ) O θ r φ r φ ˆθ ˆr, ˆθ = ˆr = 1 ( ˆθ = cos φ + π ) ( ˆ + sin φ + π ) ŷ = sin φˆ + cos φŷ 2 2 dˆ = 0, dŷ = 0 dˆr 0, d ˆθ 0 dˆr = dφ dφ dφ sin φˆ + cos φŷ = ˆθ d ˆθ = dφ ˆr ταχύτητα v = dr = d dr (r(t)ˆr) = ˆr + r(t)dˆr = r ˆr + r dφ ˆθ επιτάχυνση a = dv = r ˆr + r dφ ˆθ + r dφ ( ) 2 ˆθ + r d2 φ ˆθ dφ 2 r ˆr = [ r r ( ) ] 2 [ dφ ˆr + 2r dφ ] + r d2 φ ˆθ 2
1.9 Πολικές συντεταγµένες 13 1.9.1 Κυκλική κίνηση r(t) = R = σταθερό r = Rˆr v = dr = R dˆr = R dφ ˆθ v r = R 2 dφ ˆr ˆθ = 0 v r a = R ( dφ ) 2 ˆr + R d2 φ 2 ˆθ Εάν dφ/ = σταθερό = ω τότε φ = ωt + φ 0 v = Rω ˆθ a = Rω 2 ˆr = v2 R ˆr, κεντροµόλος επιτάχυνση r = Rˆr = R [cos (ωt + φ 0 ) ˆ + sin (ωt + φ 0 ) ŷ] Εχουµε ω = 2π/T, όπου T είναι η περίοδος, δηλαδή ο χρόνος για µια πλήρη περιστροφή κατά 2π. Για τη συχνότητα έχουµε f = 1 T = αριθµός στροφών ανά µονάδα χρόνου = κύκλοι = Hertz(Hz) sec Συστήµατα συντεταγµένων 1. Καρτεσιανό (,, z) 2. Πολικό (r, φ) ( = r cos φ, = r sin φ) 3. Κυλινδρικό (r, φ, z) 4. Σφαιρικό (r, φ, θ) ( = r sin θ cos φ, = r sin θ sin φ, z = r cos θ) Εφαρµογή Αυτοκίνητο εισέρχεται σε κυκλική στροφή ακτίνας 30 m. Εάν οι τροχοί µπορούν να αντισταθούν σε µέγιστη εγκάρσια επιτάχυνση 8 m/sec 2 χωρίς να ολισθήσουν, ποια είναι η µέγιστη επιτρεπτή ταχύτητα ; a = v2 R v2 ma = a ma R v ma = 240 m/sec Κάθε καµπύλη τροχιά έχει τοπικά µια ακτίνα καµπυλότητας. υ Κλειστή στροφή συνεπάγεται µικρή ακτίνα O R Σχήµα 1.11 καµπυλότητας και άρα µικρή ταχύτητα ολίσθησης, δηλαδή η µέγιστη επιτρεπτή ταχύτητα του κινητού στη στροφή είναι µικρή.
14 ιανύσµατα Εφαρµογή Εξίσωση κίνησης ενός κινητού r = r(t). Ορίζουµε τα µοναδιαία διανύσµατα ˆT και ˆN, όπου ˆT είναι η εφαπτόµενη στην τροχιά κατά τη ϕορά της κίνησης και ˆN το κάθετο στο ˆT διάνυσµα, κατά τη ϕορά του d ˆT / v = v ˆT = v ˆT a = dv ˆT + v2 ρ ˆN όπου k = 1 ρ = d ˆT ds Το s µετράει το µήκος της τροχιάς, k είναι η τοπική καµπυλότητα και ρ η τοπική ακτίνα καµπυλότητας. Λύση: v = dr = v ˆT, a = dv ˆT + v d ˆT, ˆT = dr/ dr/ ˆT d ˆT διότι ˆT ˆT = 1 d ( ˆT ˆT ) = 0 ˆT d ˆT = 0 v = ds d ˆT = d ˆT ds ds = v d ˆT ds a = dv ˆT + v 2 d ˆT ds, a = dv ˆT + v2 ρ ˆN όπου ρ = 1 k, k = d ˆT ds d ˆT ds = k ˆN, d ˆN ˆT /ds = d ˆT /ds a επιτρόχιος = dv ˆT a κεντροµόλος = v2 ρ ˆN r(t) ds dr r(t+) Σχήµα 1.12
1.10 Σειρές Talor 15 Μήκος τροχιάς µέτρο της ταχύτητας ds 2 = dr dr ds = dr dr ds = d 2 + d 2 + dz 2 (d ) 2 ds = + ( ) 2 d + ( ) 2 dz = v 1.10 Σειρές Talor Εφαρµογή του ϑεωρήµατος της Μέσης Τιµής. Ανάπτυξη συνεχούς και παραγωγίσιµης συνάρτησης σε σειρά κοντά στο σηµείο 0 : f() = n 1 k=0 ( 0 ) k f (k) ( 0 ) + R n k! όπου R n = f (n) ( ξ)n (ξ) n! εάν ισχύει lim R n 0 όταν n έχουµε : και ξ ανήκει στο διάστηµα 0, ( 0 ) n f() = f (n) ( 0 ) n! n=0 e = 1 + + 2 2 + 3 6 + + n n! +... (e ) = e, (e ) = e, e 0 = 1 e iθ = 1 + (iθ) + (iθ)2 + (iθ)3 + (iθ)4 +... = 1 + iθ θ2 2 3! 4! 2 iθ3 6 + θ4 24 +... ) ) = (1 θ2 2 +... + i (θ θ3 6 +... cos θ = 1 θ2 2 + θ4 24 +... (cos θ) = sin θ, (cos θ) = cos θ, (cos θ) (4) = cos θ,... (cos θ) = sin θ sin θ = θ θ3 6 +... (sin θ) = cos θ, (sin θ) = sin θ, (sin θ) (3) = cos θ,... e iθ = cos θ + i sin θ, Ταυτότητα του Euler γύρω από το = 0 ( ) 1 1 t =, 2 t 1 + = 1 + 2 2 8 +... ( ) ( 1 t = 1 ) 1 2 2 t, 3/2 t = 1 +
16 ιανύσµατα 1.11 Ακρότατα Συνάρτησης ακρότατο f ( k ) = 0 f ( k ) > 0 ελάχιστο f ( k ) < 0 µέγιστο f() 1 2 Δ Δ=- k Σχήµα 1.13 Εστω ότι f ( k ) = 0 Ανάπτυξη σε σειρά Talor γύρω από το σηµείο k f() = f( k ) + f ( k )( k ) + 1 2 f ( k ) ( k ) 2 +... f() = f( k ) + 1 2 f ( k ) ( k ) 2 +... Το 2 = ( k ) 2 είναι µικρός αριθµός ( 1), οι υπόλοιποι όροι είναι αµελητέοι. Εάν f ( k ) < 0 f() < f( k ) το k είναι µέγιστο Εάν f ( k ) > 0 f() > f( k ) το k είναι ελάχιστο 1.12 Απλές διαφορικές εξισώσεις χωριζοµένων µεταβλητών Παράδειγµα 1 d = k, k R+, = 0 για t = t 0 (α) Αναζητούµε τη συνάρτηση (t) έτσι ώστε η παράγωγος να δίνει την (t) επί µια σταθερά (t) = e kt d = ke kt = k (t 0 ) = 0 = e kt0 = 0 e kt0 (t) = 0 e k(t t0) (ϐ) d = k d = k και ολοκληρώνουµε αριστερά κατά, δεξιά κατά t d = k + c ln = kt + c = e c e kt = e kt
1.12 Απλές διαφορικές εξισώσεις χωριζοµένων µεταβλητών 17 (γ) Παράδειγµα 2 d 0 t ( ) = k ln = k(t t 0 ) t 0 0 0 = e k(t t0) = 0 e k(t t0) d = k, k C k = a + ib ( ) d = k ln = k (t t 0 ) 0 Εστω t 0 = 0, (0) = 0 = 0 e kt = 0 e at e ibt = 0 e at cos(bt) + i 0 e at sin(bt) όπου C. Στο σχήµα 1.14 δίνουµε το πραγµατικό µέρος του σε συνάρτηση µε το χρόνο t. 0 t Σχήµα 1.14 Παράδειγµα 3 d d = d d = + c ln = ln + c ln = c = c = 1.12.1 Γενικός κανόνας αντιµετώπισης των διαφορικών εξισώσεων χωριζόµενων µεταβλητών (Α) d d = f 1()f 2 () d f 2 () = df 1() d f 2 () = f 1 ()d + c Παράδειγµα 1 d = d d + d = 0 d = d + c 2 2 = 2 2 + c 2 + 2 = 2c = R 2 Κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα R.
18 ιανύσµατα Παράδειγµα 2 d = 4t d = 4t d = 4 t + c 2 = 4 2 t2 + c = t 2 + c = ( t 2 + c ) 2 d = 4t επαλήθευση Προσδιορίζουµε το c από τις αρχικές συνθήκες, δηλαδή (t 0 ) = 0. (Β) d = f(a + b) d Ορίζουµε τη νέα µεταβλητή z = a + b, οπότε f(a + b) = f(z) dz d = a + b d d = a + bf(z) dz a + bf(z) = d dz a + bf(z) = d + c Παράδειγµα 3 d = 2 +, d z f(z) = z dz 2 + f(z) = d = 2 + dz 2 + z = + c ln(z + 2) = + c z + 2 = e +c = e 2 + 2 + = e = e 2 2 Αρχικές συνθήκες = 0 = 0 0 = 2 = 0 + 2 1.13 Συναρτήσεις πολλών µεταβλητών - Μερική παράγωγος z r Σχήµα 1.15
1.13 Συναρτήσεις πολλών µεταβλητών - Μερική παράγωγος 19 f = f(,, z) Ορίζουµε την παράγωγο της f ως προς από την οριακή διαδικασία δηλαδή κρατώντας τις µεταβλητές, z σταθερές. f = lim f( +,, z) f(,, z) 0 Παράδειγµα 1 Οµοίως Κρατάω σταθερά τα,. f(,, z) = 3 2 + z f = 6 f = lim f(, +, z) f(,, z) 0 f = 32 + 1 z f z = z 2 Παράδειγµα 2 r = r = 2 + 2 + z 2 r = 1 2 2 = r r = r r z = z r Κανόνες παραγώγισης Γενικός κανόνας : Εάν f(r) = g(r) + h(r) f = g + h ( f ) = ( f ) (g h) = g h + h g Ολική µεταβολή df της συνάρτησης f r r + dr Ορίζουµε το διάνυσµα df = f (r + dr) f(r) = f f f d + d + z dz dr = ˆd + ŷd + ẑdz f = ˆ f + ŷ f + ẑ f z df = ( f) dr (κλίση της f)
20 ιανύσµατα